יחסים בדמיון והגובה ליתרגאומטריה 571 · שיעור 22
גאומטריה 571 · מתחילים מהיסודות
שיעור 22: יחסים בדמיון והגובה ליתר
פרק 6 · פיתגורס ודמיון
1יחס היקפים, גבהים ושטחים במשולשים דומים
2הגובה ליתר: שלושה משולשים דומים
35 תרגילים, כולל שטח טרפז והגובה ליתר
משפטים
יחסים במשולשים דומים
△ABC ∼ △DEF ביחס דמיון k (בשרטוט k = 2 : 3)
📐 יחס ההיקפים שווה ל־k
📐 יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים שווה ל־k
📐 יחס השטחים שווה ל־k² (בשרטוט 4 : 9)
📐 הגדרה
משולשים דומים: כל הזוויות המתאימות שוות וכל הצלעות המתאימות באותו יחס k (יחס הדמיון)
משפט + הוכחה
הגובה ליתר במשולש ישר זווית
∢A = ∢BCD
שתיהן משלימות את ∢B ל־90 (סכום הזוויות במשולש)
∢B = ∢ACD
שתיהן משלימות את ∢A ל־90
△ADC ∼ △CDB ∼ △ACB
ז.ז (בכל אחד זווית ישרה ועוד זווית שווה)
AD : CD = CD : DB ⟹ CD² = AD · DB
מ־△ADC ∼ △CDB וכפל בהצלבה
📐 באותו אופן: AC² = AD · AB , BC² = BD · AB
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
📐 משפט דמיון
ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
📐 כלל
במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
📐 כלל
פרופורציה: כפל בהצלבה
a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
תרגיל 1 · יחס היקפים · קל
△ABC ∼ △DEF , BC = 6 , EF = 9. היקף △ABC הוא 15
מצאו את היקף △DEF
מצאו את היקף △DEF
k = BC : EF = 6 : 9 = 2 : 3
יחס הדמיון – צלעות מתאימות
P(ABC) : P(DEF) = 2 : 3
יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון
15 : P(DEF) = 2 : 3 ⟹ 2 · P(DEF) = 45
מציבים וכפל בהצלבה
P(DEF) = 22.5
מחלקים ב־2
✅ פתרון סופי: היקף △DEF הוא 22.5
📐 כלל
במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
📐 משפט
במשולשים דומים יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון
📐 כלל
פרופורציה: כפל בהצלבה
a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
תרגיל 2 · מהשטחים לצלע · בינוני
△ABC ∼ △DEF. שטח △ABC הוא 18 ושטח △DEF הוא 50 , BC = 6
מצאו את יחס הדמיון ואת EF
מצאו את יחס הדמיון ואת EF
k² = 18 : 50 = 9 : 25
יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
k = 3 : 5
שורש של המונה ושל המכנה
BC : EF = 3 : 5 ⟹ 6 : EF = 3 : 5
צלעות מתאימות ביחס הדמיון
3 · EF = 30 ⟹ EF = 10
כפל בהצלבה ומחלקים ב־3
✅ פתרון סופי: k = 3 : 5 , EF = 10
📐 משפט
במשולשים דומים יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
S₁ : S₂ = k²
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
📐 כלל
במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
📐 כלל
פרופורציה: כפל בהצלבה
a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
תרגיל 3 · שטח טרפז בעזרת דמיון · בינוני
במשולש ABC: DE ∥ BC , AD : DB = 2 : 1 , ושטח △ABC הוא 36
מצאו את שטח △ADE ואת שטח הטרפז DBCE
מצאו את שטח △ADE ואת שטח הטרפז DBCE
△ADE ∼ △ABC
ז.ז: ∢A משותפת , ∢ADE = ∢B (מתאימות)
k = AD : AB = 2 : 3
AB = 2k + k = 3k
S(ADE) : S(ABC) = 4 : 9
יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
S(ADE) = 36 · 4 : 9 = 16
מציבים ומחשבים
S(DBCE) = 36 − 16 = 20
שטח הטרפז = שטח המשולש הגדול פחות הקטן
✅ פתרון סופי: S(ADE) = 16 , S(DBCE) = 20
📐 משפט דמיון
ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
📐 משפט
בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות
📐 כלל
אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים
AB = AM + MB
📐 משפט
במשולשים דומים יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
S₁ : S₂ = k²
📐 כלל
פרופורציה: כפל בהצלבה
a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
תרגיל 4 · הגובה ליתר · בינוני
במשולש ABC: ∢C = 90 , CD גובה ליתר , AD = 4 , DB = 9
מצאו את CD ואת שטח המשולש
מצאו את CD ואת שטח המשולש
CD² = AD · DB
הגובה ליתר: משולשים דומים
CD² = 4 · 9 = 36
מציבים
CD = 6
שורש (אורך חיובי)
S = AB · CD : 2 = 13 · 6 : 2 = 39
שטח משולש (AB = 4 + 9 = 13)
✅ פתרון סופי: CD = 6 , שטח המשולש 39
📐 משפט
הגובה ליתר יוצר משולשים דומים. ריבוע הגובה שווה למכפלת שני הקטעים שעל היתר
CD² = AD · DB
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
📐 נוסחה
שטח משולש
S = (צלע · הגובה אליה) : 2
תרגיל 5 · מורכב: ניצב, היטל וגובה
במשולש ABC: ∢ACB = 90 , CD גובה ליתר , AC = 6 , AB = 9
מצאו את AD , DB ואת CD
מצאו את AD , DB ואת CD
∢A משותפת , ∢ADC = ∢ACB = 90
זווית משותפת + זוויות ישרות
△ADC ∼ △ACB
ז.ז
AD : AC = AC : AB
צלעות מתאימות באותו יחס
AC² = AD · AB ⟹ 36 = AD · 9
כפל בהצלבה ומציבים
AD = 4
מחלקים ב־9
DB = 9 − 4 = 5
DB = AB − AD
CD² = AD · DB = 4 · 5 = 20
הגובה ליתר
CD = √20 = √(4 · 5) = 2√5
שורש ופירוק שורש
✅ פתרון סופי: AD = 4 , DB = 5 , CD = 2√5 ≈ 4.47
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 משפט דמיון
ז.ז: שתי זוויות שוות ← המשולשים דומים
📐 כלל
במשולשים דומים: הצלעות המתאימות באותו יחס (יחס הדמיון k)
AB/DE = BC/EF = AC/DF = k
📐 כלל
פרופורציה: כפל בהצלבה
a/b = c/d ⟹ a·d = b·c
📐 משפט
ריבוע ניצב שווה למכפלת הקטע הצמוד לו על היתר ביתר כולו
AC² = AD · AB
📐 כלל
מחלקים את שני האגפים באותו מספר (לא 0)
📐 כלל
אם נקודה נמצאת על קטע, הקטע שווה לסכום שני החלקים
AB = AM + MB
📐 משפט
הגובה ליתר יוצר משולשים דומים. ריבוע הגובה שווה למכפלת שני הקטעים שעל היתר
CD² = AD · DB
📐 כלל
שורש: אורך תמיד חיובי
x² = 36 ⟹ x = 6
📐 כלל
פירוק שורש: מוציאים מהשורש ריבוע שלם
√20 = √(4 · 5) = 2√5
📌 מה למדנו היום
📐 משפט
במשולשים דומים יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון
📐 משפט
במשולשים דומים יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון
S₁ : S₂ = k²
📐 משפט
במשולשים דומים יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים שווה ליחס הדמיון
📐 משפט
הגובה ליתר יוצר משולשים דומים. ריבוע הגובה שווה למכפלת שני הקטעים שעל היתר
CD² = AD · DB
💡 שטחים ← k². היקפים, גבהים, תיכונים ← k. כשנותנים שטחים – מוציאים שורש כדי לקבל k.
בפרק הבא: המעגל – מיתרים וזוויות
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא